Un corpo approssimabile come puntiforme e di massa m è in contatto con un estremo di una molla ideale, di massa trascurabile e costante elastica k, che ha l'altro estremo fissato. Inizialmente la molla è compressa di una quantità D x ed il corpo è mantenuto in quiete. Corpo e molla poggiano su una guida orizzontale priva di attrito, cui è raccordato un tratto di guida che descrive un arco di cerchio di raggio R nel piano verticale (vedi figura).

Ad un certo istante il corpo viene lasciato libero di muoversi sotto la spinta della molla. Determinare:

1. La velocità v₀ del corpo quando esso si stacca dalla molla ;
2. l'altezza massima h raggiunta dal corpo lungo il tratto circolare della guida;
3. la reazione vincolare nel punto A di raccordo tra il tratto orizzontale e quello curvo della guida e nel punto P di massima altezza.

Assumere nei calcoli numerici:

m = 0.100 kg; k = 100 N m^-1 D x = 10.0 cm R = 80.0 cm g = 9.81 m s^-2

Un rocchetto, costituito da due dischi omogenei, aventi ciascuno raggio R e massa M, e da un asse cilindrico di massa M e raggio R/2, è appoggiato su un piano orizzontale. Il rocchetto è collegato ad un corpo di massa M'=2M tramite una fune ideale di massa trascurabile, avvolta al suo asse nel modo indicato in figura. La fune poggia su una carrucola di massa trascurabile in modo tale da essere tesa orizzontalmente tra rocchetto e carrucola e da permettere al corpo di muoversi verticalmente sotto l'azione della forza di gravità. Supponendo che sia soddisfatta per il rocchetto la condizione di puro rotolamento, determinare:

1. il rapporto tra il modulo della velocità istantanea v_P del corpo e il modulo della corrispondente velocità v_C del centro di massa del rocchetto;
2. la velocità finale v_f del corpo dopo che esso ha percorso un tratto h, con partenza da fermo;
3. la tensione t della fune e l'accelerazione a del corpo durante il movimento.

Assumere nei calcoli:

g = 9.81 ms^-2 h = 1.00 m; M = 1.00 kg;

Un gas ideale biatomico (n moli) è inizialmente tenuto alla temperatura T_A e pressione p_A Successivamente viene compresso isotermicamente fino a raggiungere lo stato B con volume V_B ; poi, a volume costante, vengono innalzate temperatura e pressione fino a raggiungere uno stato di equilibrio C; in questa trasformazione isocora la variazione di entropia è S(C) - S(B) = D S. Quindi, tramite una trasformazione adiabatica dallo stato C allo stato D la pressione viene riportata al valore iniziale p_D = p_A. Il ciclo viene completato con una trasformazione isobara che riporta il gas al volume iniziale. Considerando reversibili tutte le trasformazioni, si determinino:

1. le coordinate nel piano (p,V) degli stati A, B, C, D, e la variazione di energia interna U(D)-U(C) nella trasformazione adiabatica C® D;
2. il lavoro L compiuto dal gas in un ciclo;
3. il rendimento h del ciclo.

Assumere nei calcoli:

n = 1.5 mol; p_A = 1.00 atm; T_A = 300 K ; V_B = 10.0 litri; D S = 21.6 J/K; R = 0.082 litri´ atm/(K mol) = 8.31 J/(K mol) ; 1 litro atm = 101.3 J