Initializzazione

Funzione, grafico; "pendenza"

esempi:
Grafico della funzione (reale di variabile reale):
     f(x) = x^2 (4 - x)       sull'intervallo    [1, 5]:
     

In[10]:=

Osserviamone  meglio il comportamento in vicinanza di (x=3, f(x)= 9).

In[12]:=

Se l'intervallo considerato e` sufficientemente piccolo, il grafico della funzione "si confonde" con una retta, che ha una "pendenza".

Derivata: definizione formale

Grafico di una funzione f in un intorno del punto  x = x0. Consideriamo un punto x = x0 + h e tracciamo la retta che interseca il grafico di f per x = x0 e per x = x0 + h.

(Esercizio:  Scrivere un'espressione per le coordinate dei due punti d'intersezione e scrivere l'espressione della "pendenza" (o "coefficiente angolare") della retta che li congiunge.)

Per determinare "la pendenza del grafico" nel punto x0, rimpiccioliamo ripetutamente il modulo di h e calcoliamo la pendenza della linea che interseca il grafico di f in x0 e x0 + h. Queste linee vengono chiamate secanti; la linea limite e` chiamata tangente.

In[14]:=

Formalmente, prendiamo il limite per h -> 0 nell'espressione trovata nell' Esercizio precedente e otteniamo la "derivata f '(x0) della funzione f in x0":
        
        f '(x0) = lim (h->0) (f(x0+h) - f(x0))/h.

Questo limite, quando esiste, fornisce "la pendenza del grafico in x0", ed il suo valore non dipende dalla scelta di un particolare secondo punto x0+h; esso da` una misura della rapidita` con cui varia f in un intorno di x0.

La derivata come funzione

Una funzione f(x) puo` avere un valore ben definito della "derivata" (o "pendenza del grafico") ad ogni punto x0 del suo dominio. Questo porta alla definizione di una "funzione derivata f '(x)".  

In[15]:=

In[16]:=

Qualche altro esempio

In[18]:=

In[19]:=

In[20]:=

In[21]:=

In[22]:=

Created by Mathematica  (November 15, 2004)